L'identification pour une fonction rationnelle

Cette fiche explique la méthode d'identification dans le cas d'une fonction rationnelle, grâce à un exemple.

Méthode

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)= \dfrac{x^2+x-2}{x+3}$

Il s'agit de montrer qu'on peut trouver 3 réels $a$ , $b$ et $c$ tels que :

$f(x) = ax+b+\dfrac{c}{x+3}$

On part de :

$ax+b+\dfrac{c}{x+3}$

On commence par mettre les fractions au même dénominateur, puis on regroupe les termes de même degré.

$ax+b+\dfrac{c}{x+3} =\dfrac{(ax+b)(x+3) + c}{x+3} =\dfrac{ax^2+3ax+bx+3b+c}{x+3}=\dfrac{ax^2+(3a+b)x+(3b+c)}{x+3}$

Il faut donc que l'égalité suivante soit vraie pour tout $x$ du domaine de définition de $f$ .

$\dfrac{x^2+x-2}{x+3}=\dfrac{ax^2+(3a+b)x+(3b+c)}{x+3}$

Or 2 fractions ayant le même dénominateur sont égales si elles ont le même numérateur.

Il faut donc que l'égalité suivante soit vraie pour tout $x$ du domaine de définition de $f$ .

$ax^2+(3a+b)x+(3b+c)=x^2+x-2$

Il faut donc que les coefficients de même degré des 2 polynômes soient égaux deux à deux, c'est à dire :

$\begin{cases} a=1 \\ 3a+b=1 \\ 3b+c=-2\end{cases}$

Il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver $a$ , $b$ et $c$ :

$\begin{cases} a=1 \\ b=-2 \\ c=4\end{cases}$

Donc $f(x)=x-2+\dfrac{4}{x+3}$

Par Zorro