Produit scalaire et applications en 1ère S

I. Définition et propriétés.

1. Norme d'un vecteur.

Considérons un vecteur u⃗\vec u du plan. On définit la norme du vecteur u⃗\vec u comme la "longueur" du vecteur u⃗\vec{u}. On la note ∥u⃗∥\|\vec{u}\|

En particulier : si u⃗\vec u est un vecteur tel que u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB}

2. Cas de deux vecteurs colinéaires.

Définition :
Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs colinéaires du plan. On appelle produit scalaire des vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v le nombre réel noté u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v défini par :

u⃗⋅v⃗={∥u⃗∥×∥v∥ lorsque u⃗ et v⃗ sont de meˆme sens−∥u⃗∥×∥v∥ lorsque u⃗ et v⃗ sont de sens diffeˊrent\vec u\cdot\vec v=\left\{ \begin{array}{ll}\|\vec u\|\times\|v\| & \textrm{ lorsque }\vec u\textrm{ et }\vec v\textrm{ sont de même sens} \\ -\|\vec u\|\times\|v\| & \textrm{ lorsque }\vec u\textrm{ et }\vec v\textrm{ sont de sens différent}\end{array} \right.

3. Cas de deux vecteurs quelconques.

Définition :
Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs différent de 0⃗\vec 0 du plan.
On pose, par définition :

u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v′→\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}

où v′→\overrightarrow{v'} est le projeté orthogonal de v⃗\vec v sur u⃗\vec u.

Voici deux cas différents de projeté orthogonal :

produit-scalaire u⃗⋅v⃗>0\vec u\cdot\vec v>0
produit-scalaire u⃗⋅v⃗<0\vec u\cdot\vec v<0

Défintion :
u⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec u s'appelle le carré scalaire de u⃗\vec u. On a u⃗⋅u⃗=∥u∥2\vec u\cdot\vec u=\|u\|^2

4. Cas de deux vecteurs orthogonaux.

  • D'une part : si u⃗⊥v⃗\vec u\perp\vec v, alors le projeté orthogonal v′→\overrightarrow{v'} de v⃗\vec v sur u⃗\vec u est égal à 0⃗\vec 0.
    Ainsi,

u⃗⋅v⃗=u⃗⋅0⃗=∥u⃗∥×∥0⃗∥=0\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec 0=\|\vec u\|\times\|\vec 0\|=0

  • D'autre part : si u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0, alors u⃗⋅v′→=0\vec u\cdot\overrightarrow{v'}=0.
    Donc soit v⃗=0⃗=v′→\vec v=\vec 0=\overrightarrow{v'}, soit v⃗⊥u⃗\vec v\perp\vec u

D'où la propriété suivante :

Propriété :

u⃗⊥v⃗⟺u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v \Longleftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0

5. Exemple.

Soit ABCDEFABCDEF un hexagone régulier de centre OO et de côté 33.
hexagone
Calculons quelques produits scalaires de vecteurs :

  1. AB→⋅AO→=AB→⋅AI→ avec I milieu de [AB]=AB×AI car les deux vecteurs sont colineˊaires=3×1,5=4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO} & = & \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI} & \textrm{ avec } I\textrm{ milieu de } [AB] \\ & = & AB\times AI & \textrm{ car les deux vecteurs sont colinéaires} \\ & = & 3\times 1{,}5 \\ & = & 4{,}5\\ \end{array}

  2. OB→⋅OD→=OB→⋅OJ→ avec J milieu de [EO]=−OB×OJ=−3×1,5=−4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD} & = & \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OJ} & \textrm{ avec } J\textrm{ milieu de } [EO] \\ & = & -OB\times OJ \\ & = & -3\times 1{,}5 \\ & = & -4{,}5\\ \end{array}

  3. AB→⋅BC→=AB→⋅BK→ avec BK→=12AB→=AB×BK=3×1,5=4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} & = & \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BK} & \textrm{ avec } \overrightarrow{BK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ & = & AB\times BK \\ & = & 3\times 1{,}5 \\ & = & 4{,}5\\ \end{array}

  4. CF→⋅CD→=CF→⋅CL→ avec L milieu de [OC]=CF×CL=3×1,5=4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CD} & = & \overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CL} & \textrm{ avec } L\textrm{ milieu de } [OC] \\ & = & CF\times CL \\ & = & 3\times 1{,}5 \\ & = & 4{,}5\\ \end{array}

6. Autre expression du produit scalaire.

Soit α\alpha une mesure de l'angle orienté (u⃗ ;v⃗)(\vec u\ ;\vec v) (on choisira la mesure principale).
Par définition, u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v′→\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}.
On distinguera deux cas :
1er cas : l'angle α\alpha est aigu
triangle-rectangle
On pose AB→=v⃗\overrightarrow{AB}=\vec v et AH→=v′→\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{v'}.
Les formules de trigonométrie nous indique alors que :

cos⁡α=AHAB=∥v′→∥∥v⃗∥\cos\alpha =\frac{AH}{AB}=\frac{\|\overrightarrow{v'}\|}{\|\vec v\|}

Ainsi, ∥v′→∥=∥v⃗∥.cos⁡α\|\overrightarrow{v'}\|=\|\vec v\|.\cos\alpha
Et donc,

u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v′→=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡α\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\alpha

2ème cas : l'angle α\alpha est obtu
Si l'angle est obtu, il suffit de faire le raisonnement avec cos⁡(π−α)\cos(\pi-\alpha) et en remarquant que cos⁡(π−α)=−cos⁡(α)\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)
produit-scalaire

D'où le théorème suivant :

Propriété :
Pour u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs non nuls,

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗;v⃗^)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\widehat{\vec u;\vec v})

II. Propriétés du produit scalaire

1. Premières propriétés.

Propriété :

  1. Symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u
  2. Opérations : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w et u⃗⋅(λv⃗)=λu⃗⋅v⃗\vec u\cdot (\lambda\vec v) = \lambda\vec u\cdot\vec v
  3. Produit scalaire et normes :

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+∥v⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗\|\vec u+\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\ \vec u\cdot\vec v

∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗\|\vec u-\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\ \vec u\cdot\vec v

(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2

2. Produit scalaire dans un repère orthonormé.

On note (O;i⃗;j⃗)(O;\vec i;\vec j) un repère orthonormé du plan. Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurys du plan de coordonnées (x;y)(x;y) et (x′;y′)(x';y').
On a alors :

u⃗=xi⃗+yj⃗ et v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec u=x\vec i+y\vec j\textrm{ et }\vec v=x'\vec i+y'\vec j

On calcule le produit scalaire de u⃗\vec u par v⃗\vec v :

u⃗⋅v⃗=(xi⃗+yj⃗)⋅(x′i⃗+y′j⃗)=\vec u\cdot\vec v=(x\vec i+y\vec j)\cdot(x'\vec i+y'\vec j)=

En développant, on trouve

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'

D'où le théorème suivant :

Théorème :
Dans un repère orthonormé, si u⃗(x;y)\vec u(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec v(x';y'), alors

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'

Toutes nos vidéos sur produit scalaire et applications en 1ère s

Posez vos questions

D'autres interrogations sur ce cours ? Démarrez une discussion et obtenez des réponses à des exercices pratiques.

Accéder au forum

Fiches méthodes

  1. Représenter graphiquement les termes d'une suite
  2. Factorisation d'un polynôme par identification
  3. Les dérivées des fonctions de référence
  4. L'identification pour une fonction rationnelle
  5. Quelques propriétés de la bissectrice
  6. Sur la dérivation
  7. Formule de la hauteur dans le triangle
  8. Mise en forme canonique et résolution du second degré
  9. Nombre dérivé et fonction dérivée
  10. Trouver deux nombres à somme et produit fixés
  11. La loi des sinus
  12. Évolutions en pourcentages
  13. Equations du second degré
  14. Formule de la médiane
  15. Formule d'Al-Kashi (la loi des cosinus)
  16. Résoudre les équations du second degré
  17. Equations du troisième degré
  18. Forme canonique d'un polynôme du second degré
  19. Les suites arithmétiques en 1ere
  20. Les suites numériques
  21. Introduction aux suites géométriques

Cours de mathématiques de première S

  1. Rappels pour une 1ère S
  2. Le second degré (1ère partie)
  3. Le second degré (2ème partie)
  4. Les suites en 1ère S
  5. Les fonctions de référence
  6. Fonctions dérivées en 1ère S
  7. Trigonométrie en 1ère S
  8. Barycentre
  9. Probabilités en 1ère S
  10. Modélisation et échantillonnage en 1ère S
  11. Statistiques en 1ère S
  12. Produit scalaire et applications en 1ère S
6ème 5ème 4ème 3ème
2nde 1ère S 1ère ES 1ère L
Term S Term ES Term L
Prépa HEC Maths SUP Maths SPE
Hors Programme Outils mathématiques