Trouver deux nombres à somme et produit fixés - une méthode bien pratique !

Objectif :

Dans cet article, on montre une méthode pour résoudre un type de problème particulier et assez courant : trouver deux nombres (inconnus) $u$ et $v$, tels que $u+v = S$ et $uv = P$ ($S$ et $P$ connus).

Voici donc un complément de cours (... des anciens programmes) : Deux nombres à somme et produit connus

§ 1 - Condition nécessaire

Soient $u$ et $v$ deux nombres dont le produit est $P$ et la somme $S$ : $uv = P$ et $u + v = S$.

Alors en multipliant la 2e égalité par $u$, on a : $u^2 + uv = Su$ qui devient, en remplaçant $uv$ par $P$ : $u^2 - Su + P = 0$.

Ceci montre que u est nécessairement solution de l'équation $x^2 - Sx + P = 0$. On peut voir de même que c'est le cas pour $v$.

§ 2 - Condition suffisante

Soient $u$ et $v$ les solutions d'une équation $x^2 - Sx + P = 0$.

Alors on a pour tout $x$

$x^2 - Sx + P = (x - u)(x - v)$.

En développant, on a :

$x^2 - Sx + P = x^2 - (u + v)x + uv$.

Ceci montre que $u+v = S$ et que $uv = P$.

§ 3 - Théorème

§ 4 - Application numérique

Problème :

Solution :

$u$, $v$ cherchés sont tels que $u+v = 21$ et $uv = 54$.

Cela revient à trouver les solutions $u,v$ de $x^2 - 21x + 54 = 0$.

Or le discriminant de ce trinôme est $21^2 - 4 \times 54 = 225 = 15^2$,

Donc $u = (21 - 15)/2 = 3$ et $v = (21 + 15)/2 = 18$.

C'est quand même plus rapide que de faire des essais. C'est surtout plus systématique.

Remarque :

Dans le cas de conditions simplissimes, du genre trouver deux nombres $u$ et $v$ tels que $u+v = 3$ et $uv = 2$, on peut quand même se dispenser de la recherche systématique puisqu'il est évident que $1$ et $2$ sont solutions…

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