Le second degré (2ème partie)

I. Factorisation de ax²+bx+cax² + bx +c

Théorème n°1 :
Soit ax²+bx+cax² + bx +c un polynôme du second degré. On note Δ\Delta son discriminant.

  • Si Δ>0\Delta > 0, alors ax2+bx+cax^2 + bx + c admet deux racines réelles x1x_1 et x2x_2 et peut être factorisé : ax²+bx+c=a(xx1)(xx2)ax² + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).
  • Si Δ=0\Delta = 0, alors ax2+bx+cax^2 + bx + c admet une unique racine réelle x0x_0 et peut être factorisé : ax²+bx+c=a(xx0)²ax² + bx + c = a(x - x_0)².
  • Si Δ<0\Delta < 0, alors ax2+bx+cax^2 + bx + c n'admet pas de racine réelle et ne peut pas être factorisé sur R\mathbb{R}.

Exemples :
Factoriser, lorsque cela est possible, les trinômes suivants :

  • 2x2x62x^2 - x - 6
  • 9x26x+19x^2 - 6x + 1
  • x2+3x+10x^2 + 3x + 10

On commence par rechercher les racines du polynôme, c'est-à-dire les solutions de l'équation : 2x2x6=02x^2 - x - 6 = 0, on a :

Δ=(1)24×2×(6)=49\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 49

Les deux racines sont :

x1=(1)+492×2=2x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = 2 et x2=(1)492×2=32x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = - \frac{3}{2}

Donc : 2x2x6=2(x2)(x+32)2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2})

9x26x+19x^2 - 6x + 1 : effectuons le calcul du discriminant.

Δ=(6)24×9×1=0\Delta = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 0

Comme Δ=0\Delta = 0, le polynôme admet une unique racine "double" :

x0=(6)2×9=13x_0 = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{1}{3}

Donc : 9x26x+1=9(x13)²9x^2 - 6x + 1 = 9(x - \frac{1}{3})²

x2+3x+10x^2 + 3x + 10 : effectuons le calcul du discriminant.

Δ=324×1×10=31\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = -31

Comme Δ<0\Delta < 0, le polynôme n'a pas de factorisation dans R\mathbb{R}.

II. Etude du signe de ax²+bx+cax² + bx +c

Théorème n°2 :
Soit ax²+bx+cax² + bx +c un polynôme du second degré. On note Δ\Delta son discriminant.

  • Si Δ>0\Delta > 0, alors le signe de ax2+bx+cax^2 + bx + c est donné par le tableau suivant :
    tableau de signes avec delta positif
Cas où Δ>0\Delta > 0 a>0a > 0 a<0a < 0
P\mathcal P coupe l'axe des abscisses, en changeant de signe, en deux points d'abscisses x1x_1 et x2x_2. courbe pour a et delta positifs courbe pour a < 0 et delta positif
  • Si Δ=0\Delta = 0, alors le signe de ax2+bx+cax^2 + bx + c est donné par le tableau suivant :
    tableau de signes avec delta nul
Cas où Δ=0\Delta = 0 a>0a > 0 a<0a < 0
P\mathcal P a un point de contact avec l'axe des abscisses au point d'abscisse x0x_0, sans changer de signe. courbe pour a > 0 et delta nul courbe pour a < 0 et delta nul
  • Si Δ<0\Delta < 0, alors le signe de ax2+bx+cax^2 + bx + c est donné par le tableau suivant :
    tableau de signes avec delta négatif
Cas où Δ<0\Delta < 0 a>0a > 0 a<0a < 0
P\mathcal P est entièrement située de l'un des côtés de l'axe des abscisses. courbe pour a > 0 et delta négatif courbe pour a et delta négatifs

Exemple :

  1. Etudier le signe du trinôme : 2x²x62x² - x - 6.
  2. En déduire les solutions dans R\mathbb{R} de l'inéquation 2x²x6>02x² - x - 6 > 0.
  1. On a vu que : Δ=49\Delta = 49 et que : x1=2x_1 = 2 et x2=32x_2 = - \frac{3}{2}.
    On applique le théorème n°2 avec a=2>0a = 2 > 0.
    Imgur

  2. On lit les solutions à l'aide du tableau : S=];2[]32;+[S = ]-\infty ; 2[ \cup ]-\frac{3}{2} ; +\infty[

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